Un gradient perpendiculaire à sa ligne de niveau

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 9 — Fonctions de deux variables réelles et recherche d'extrema · Gradient, hessienne et lignes de niveau

Énoncé

Soit $f (x, y) = x^{2} + 4 y^{2}$ . Décrire les lignes de niveau de $f$ , calculer $\nabla f (1, 1)$ , et vérifier que ce gradient est perpendiculaire à la tangente en $(1, 1)$ à la ligne de niveau passant par ce point.

Corrigé

Ce qu'on emploie. La définition d'une ligne de niveau, le calcul du gradient, et la dérivation d'une relation implicite pour obtenir la pente de la tangente.

Les lignes de niveau. La ligne de niveau $k$ est ${(x, y) ∣ x^{2} + 4 y^{2} = k}$ . Pour $k < 0$ elle est vide ; pour $k = 0$ elle se réduit au seul point $(0, 0)$ ; pour $k > 0$ c'est une ellipse centrée à l'origine, de demi-axes $k$ selon $x$ et $\frac{k}{2}$ selon $y$ — donc deux fois plus étirée horizontalement que verticalement.

Le gradient. $\partial_{1} f = 2 x$ et $\partial_{2} f = 8 y$ , donc $\nabla f (1, 1) = (28) .$

La tangente. Le point $(1, 1)$ est sur la ligne de niveau $k = 1 + 4 = 5$ , d'équation $x^{2} + 4 y^{2} = 5$ . En dérivant cette relation par rapport à $x$ , où $y$ est vue comme fonction de $x$ : $2 x + 8 y y^{'} (x) = 0 ⟹ y^{'} (1) = - \frac{2}{8} = - \frac{1}{4} .$ Un vecteur directeur de la tangente est donc $(- 1/4 1)$ , ou, en multipliant par $4$ , $(- 1 4)$ .

La perpendicularité. On forme la combinaison des coordonnées du gradient et de ce vecteur directeur : $2 \times 4 + 8 \times (- 1) = 8 - 8 = 0.$ Elle est nulle : le gradient est perpendiculaire à la tangente, conformément au cours. Il pointe de plus vers l'extérieur de l'ellipse, c'est-à-dire vers les niveaux supérieurs — ce que confirme $f (2, 2) = 20 > 5$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.