Un maximum

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 9 — Fonctions de deux variables réelles et recherche d'extrema · Points critiques et nature

Énoncé

Soit $f (x, y) = - x^{2} - y^{2} + 2 x + 4 y$ . Trouver le point critique et montrer que c'est un maximum global.

Corrigé

Point critique. $\partial_{1} f = - 2 x + 2$ et $\partial_{2} f = - 2 y + 4$ : le point est $(1, 2)$ , où $f$ vaut $- 1 - 4 + 2 + 8 = 5$ .

Hessienne. $(- 2 0 0 - 2)$ , diagonale, de valeurs propres $- 2$ et $- 2$ : toutes deux négatives, donc maximum local.

Global. $f (x, y) = - (x - 1)^{2} - (y - 2)^{2} + 5 ⩽ 5$ pour tout $(x, y)$ , avec égalité seulement en $(1, 2)$ . Le maximum est bien global.

Remarque. La forme canonique donne d'un coup la nature ET le caractère global, là où le critère d'ordre $2$ ne donne que le local. Quand elle est accessible, elle vaut mieux.

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