Un maximum

Point critique. ${\partial }_{1}f=-2x+2$ et ${\partial }_{2}f=-2y+4$ : le point est $(1,2)$, où $f$ vaut $-1-4+2+8=5$.

Hessienne. $\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& -2\end{array}\right)$, diagonale, de valeurs propres $-2$ et $-2$ : toutes deux négatives, donc maximum local.

Global. $f(x,y)=-(x-1{)}^2-(y-2{)}^2+5⩽5$ pour tout $(x,y)$, avec égalité seulement en $(1,2)$. Le maximum est bien global.

Remarque. La forme canonique donne d'un coup la nature ET le caractère global, là où le critère d'ordre $2$ ne donne que le local. Quand elle est accessible, elle vaut mieux.