Un minimum global d'une forme du second degré

Ce qu'on emploie. La condition nécessaire d'ordre $1$, la lecture des signes des valeurs propres par leur somme et leur produit, et l'argument de convexité du cours pour passer du local au global.

Le point critique. $${\partial }_{1}f=4x+2y-6,{\partial }_{2}f=2y+2x+2.$$ La seconde équation donne $y=-x-1$. En reportant dans la première : $$4x+2(-x-1)-6=2x-8=0⟹x=4,y=-5.$$ L'unique point critique est $(4,-5)$, et $$f(4,-5)=32+25-40-24-10=-17.$$

La hessienne. Elle est constante, $f$ étant polynomiale de degré $2$ : $${\nabla }^{2}f=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 2\end{array}\right).$$ Elle est symétrique, donc diagonalisable, et l'on peut lire les signes sans la diagonaliser : la somme de ses coefficients diagonaux vaut ${\lambda }_1+{\lambda }_2=6$, et le produit ${\lambda }_1{\lambda }_2$ vaut $4\times 2-2\times 2=4$.

La conclusion locale. Le produit est positif, donc les deux valeurs propres ont le même signe ; leur somme est positive, donc ce signe est le $+$. Toutes deux strictement positives : $(4,-5)$ est un minimum local.

Le caractère global. La hessienne est la même en tout point de ${\mathbb{R}}^2$ et ses valeurs propres y sont partout strictement positives : $f$ est convexe sur ${\mathbb{R}}^2$, et son unique minimum local est donc son minimum global. La valeur minimale de $f$ sur ${\mathbb{R}}^2$ est $-17$.

Contrôle. On peut vérifier directement : ${\lambda }_1$ et ${\lambda }_2$ sont les racines de ${\lambda }^2-6\lambda +4=0$, soit $3\pm \sqrt{5}$, effectivement positives puisque $\sqrt{5}<3$.