Un minimum lu sur deux nombres

Ce qu'on emploie. La méthode du cours pour lire les signes sans diagonaliser : le produit ${\lambda }_1{\lambda }_2$ et la somme des coefficients diagonaux, qui vaut ${\lambda }_1+{\lambda }_2$.

Le produit. $${\lambda }_1{\lambda }_2=4\times 4-1\times 1=15>0.$$ Il est strictement positif : les deux valeurs propres sont non nulles et de même signe.

La somme. La somme des coefficients diagonaux vaut $4+4=8>0$. Ce signe commun est donc le $+$ : les deux valeurs propres sont strictement positives.

La conclusion. D'après le critère d'ordre $2$, $f$ admet un minimum local en $(a,b)$.

Vérification. Les valeurs propres sont les racines de ${\lambda }^2-8\lambda +15=0$, soit ${\lambda }_1=5$ et ${\lambda }_2=3$ ; on les retrouve en remarquant que la matrice envoie $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}\right)$ sur $5\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}\right)$ et $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{-1}\right)$ sur $3\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{-1}\right)$. Elles sont bien toutes deux strictement positives.

Le geste à retenir : deux nombres suffisent — le produit d'abord (qui distingue le col des extrema), la somme ensuite (qui distingue le minimum du maximum).