Un minimum lu sur deux nombres

Fonctions de deux variables réelles et recherche d'extrema · Conclure sur la nature d'un point critique · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $f$ de classe $C^{2}$ sur $R^{2}$ , admettant un point critique en $(a, b)$ , où $\nabla^{2} f (a, b) = (4114)$ . Déterminer la nature de ce point critique.

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Ce qu'on emploie. La méthode du cours pour lire les signes sans diagonaliser : le produit $λ_{1} λ_{2}$ et la somme des coefficients diagonaux, qui vaut $λ_{1} + λ_{2}$ .

Le produit. $λ_{1} λ_{2} = 4 \times 4 - 1 \times 1 = 15 > 0.$ Il est strictement positif : les deux valeurs propres sont non nulles et de même signe.

La somme. La somme des coefficients diagonaux vaut $4 + 4 = 8 > 0$ . Ce signe commun est donc le $+$ : les deux valeurs propres sont strictement positives.

La conclusion. D'après le critère d'ordre $2$ , $f$ admet un minimum local en $(a, b)$ .

Vérification. Les valeurs propres sont les racines de $λ^{2} - 8 λ + 15 = 0$ , soit $λ_{1} = 5$ et $λ_{2} = 3$ ; on les retrouve en remarquant que la matrice envoie $(1 1)$ sur $5 (1 1)$ et $(- 1 1)$ sur $3 (- 1 1)$ . Elles sont bien toutes deux strictement positives.

Le geste à retenir : deux nombres suffisent — le produit d'abord (qui distingue le col des extrema), la somme ensuite (qui distingue le minimum du maximum).

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