Un point critique et sa nature

Le point critique. On annule les deux dérivées partielles : $${\partial }_{1}f=2x-6=0⟹x=3,{\partial }_{2}f=2y+2=0⟹y=-1.$$ Le système est découplé, chaque équation ne portant que sur une variable : l'unique point critique est $(3,-1)$.

La nature. La hessienne est constante : $${\nabla }^{2}f=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right).$$ Elle est diagonale, ses valeurs propres sont donc $2$ et $2$, toutes deux strictement positives : $(3,-1)$ est un minimum local.

La valeur. $$f(3,-1)=9+1-18-2+1=-9.$$

Le minimum est global. On peut le voir directement en complétant les carrés : $$f(x,y)=(x-3{)}^2-9+(y+1{)}^2-1+1=(x-3{)}^2+(y+1{)}^2-9⩾-9,$$ avec égalité si et seulement si $x=3$ et $y=-1$. La valeur $-9$ est bien le minimum de $f$ sur ${\mathbb{R}}^2$ tout entier.