Un point critique évident

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 9 — Fonctions de deux variables réelles et recherche d'extrema · Points critiques et nature

Énoncé

Déterminer les points critiques de $f (x, y) = x^{2} + 4 y^{2} - 2 x + 8 y$ .

Corrigé

$\partial_{1} f = 2 x - 2$ et $\partial_{2} f = 8 y + 8$ . Le gradient s'annule si et seulement si $x = 1$ et $y = - 1$ .

Unique point critique : $(1, - 1)$ , où $f$ vaut $1 + 4 - 2 - 8 = - 5$ .

Nature, par la forme canonique. $f (x, y) = (x - 1)^{2} + 4 (y + 1)^{2} - 5$ : somme de carrés positifs. C'est un minimum global, de valeur $- 5$ .

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