Un produit négatif, donc un col

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 9 — Fonctions de deux variables réelles et recherche d'extrema · Conclure sur la nature d'un point critique

Énoncé

Soit $f$ de classe $C^{2}$ sur $R^{2}$ , admettant un point critique en $(a, b)$ , où $\nabla^{2} f (a, b) = (1221)$ . Déterminer la nature de ce point critique sans diagonaliser, puis vérifier en donnant les valeurs propres.

Corrigé

Ce qu'on emploie. La lecture indirecte du cours : pour une matrice symétrique $2 \times 2$ , la somme des coefficients diagonaux vaut $λ_{1} + λ_{2}$ et le produit $λ_{1} λ_{2}$ se lit directement. Si ce produit est négatif, les deux valeurs propres sont non nulles et de signes opposés.

Sans diagonaliser. Le produit des valeurs propres vaut $λ_{1} λ_{2} = 1 \times 1 - 2 \times 2 = 1 - 4 = - 3 < 0.$ Il est strictement négatif : les deux valeurs propres sont non nulles et de signes opposés. D'après le critère d'ordre $2$ , $(a, b)$ est un point col, et $f$ n'y admet aucun extremum local.

Vérification. La somme des coefficients diagonaux vaut $2$ , donc $λ_{1} + λ_{2} = 2$ et $λ_{1} λ_{2} = - 3$ : les deux valeurs propres sont les racines de $λ^{2} - 2 λ - 3 = 0$ , c'est-à-dire $λ_{1} = 3 et λ_{2} = - 1.$ On peut le retrouver sans équation : la matrice envoie $(1 1)$ sur $3 (1 1)$ et $(- 1 1)$ sur $- (- 1 1)$ .

Les signes sont bien opposés, ce qui confirme le col.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.