Un produit sur le disque unité

Ce qu'on emploie. Le théorème d'existence sur un fermé borné, la condition d'ordre $1$ à l'intérieur, et un paramétrage du bord pour ramener l'étude sur la frontière à une fonction d'une seule variable.

L'existence. $f$ est continue sur ${\mathbb{R}}^2$ et $D$ est fermé borné (donné par l'énoncé) : $f$ atteint ses bornes sur $D$. Chaque borne est atteinte soit en un point intérieur — qui est alors nécessairement critique —, soit sur le cercle frontière.

À l'intérieur. ${\partial }_{1}f=y$ et ${\partial }_{2}f=x$ s'annulent simultanément en $(0,0)$ seulement. En ce point $f(0,0)=0$, et la hessienne $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ a pour valeurs propres $1$ et $-1$ : c'est un col, donc pas un extremum. Aucune borne n'est atteinte à l'intérieur — les deux le seront sur le bord.

Sur le bord. Le cercle $x^2+y^2=1$ se paramètre par $x=\cos t$, $y=\sin t$ avec $t\in [0,2\pi ]$. Alors $$f(\cos t,\sin t)=\cos t\sin t=\frac{1}{2}\sin (2t),$$ grâce à la formule de duplication. Cette fonction d'une variable a pour valeurs extrêmes $\frac{1}{2}$ et $-\frac{1}{2}$, atteintes lorsque $\sin (2t)=\pm 1$.

Conclusion. $$\underset{D}{\max }f=\frac{1}{2},\text{atteint en }\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\text{ et }\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right),$$ $$\underset{D}{\min }f=-\frac{1}{2},\text{atteint en }\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\text{ et }\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$ Ces quatre points sont bien sur le cercle, et $\frac{1}{2}>0>-\frac{1}{2}$ encadre la valeur $0$ du seul point critique intérieur, ce qui est cohérent.

Le point délicat est de ne pas s'arrêter au point critique : ici il ne donne ni le maximum ni le minimum, et l'oublier n'aurait pas d'importance — c'est le bord qui porte toute la réponse.