Un profit à maximiser

Fonctions de deux variables réelles et recherche d'extrema · Optimisation en économie · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une entreprise vend deux produits en quantités $x$ et $y$ . Son profit est $π (x, y) = 40 x + 60 y - 2 x^{2} - 3 y^{2} - 2 x y$ . Déterminer les quantités qui le maximisent.

Corrigé

Points critiques.

$\partial_{1} π = 40 - 4 x - 2 y = 0, \partial_{2} π = 60 - 6 y - 2 x = 0.$

La seconde donne $x = 30 - 3 y$ ; en reportant : $40 - 4 (30 - 3 y) - 2 y = 0$ , soit $40 - 120 + 12 y - 2 y = 0$ , d'où $10 y = 80$ et $y = 8$ , puis $x = 30 - 24 = 6$ .

Nature. $\nabla^{2} π = (- 4 - 2 - 2 - 6)$ . Le produit des valeurs propres vaut $(- 4) (- 6) - (- 2)^{2} = 24 - 4 = 20 > 0$ : elles ont le même signe, celui de la somme des coefficients diagonaux $- 4 - 6 = - 10$ , donc toutes deux négatives. C'est un maximum local.

Valeur. $π (6, 8) = 240 + 480 - 72 - 192 - 96 = 360$ .

Global. La hessienne est constante à valeurs propres négatives : $π$ est concave sur $R^{2}$ , le maximum est global. L'entreprise a intérêt à produire $6$ unités du premier produit et $8$ du second, pour un profit de $360$ .

Énoncé

Corrigé

Exercices semblables