Une fonction sans point critique

Le gradient. Les deux dérivées partielles se calculent immédiatement : $${\partial }_{1}f(x,y)=1,{\partial }_{2}f(x,y)=1,$$ donc $$\nabla f(x,y)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$ en tout point de ${\mathbb{R}}^2$.

Aucun point critique. Un point critique est un point où le gradient est le vecteur nul. Ici il vaut constamment $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}\right)\ne \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0}\right)$ : il n'y a donc aucun point critique.

Aucun extremum. Le cours énonce une condition nécessaire : si $f$, de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert, admet un extremum local en un point de cet ouvert, alors son gradient y est nul. Comme ${\mathbb{R}}^2$ est ouvert, que $f$ y est de classe ${\mathcal{C}}^1$, et qu'aucun point n'annule le gradient, $f$ n'admet aucun extremum local sur ${\mathbb{R}}^2$.

Vérification directe. Autour de n'importe quel point $(a,b)$ : $$f(a+t,b)=a+b+t,$$ qui est strictement supérieur à $f(a,b)$ pour $t>0$ et strictement inférieur pour $t<0$, si petit que soit $|t|$. Il n'y a donc ni maximum ni minimum local, ce qui confirme la conclusion.