Une isoquante et son gradient

Fonctions de deux variables réelles et recherche d'extrema · Dérivées partielles, gradient et hessienne · niveau 2

Énoncé

Soit $f (K, L) = K^{0, 4} L^{0, 6}$ pour $K, L > 0$ . Calculer $\nabla f (1, 1)$ et vérifier que $K \partial_{1} f + L \partial_{2} f = f$ .

Corrigé

Gradient. $\partial_{1} f = 0, 4 K^{- 0, 6} L^{0, 6}$ et $\partial_{2} f = 0, 6 K^{0, 4} L^{- 0, 4}$ . En $(1, 1)$ : $\nabla f (1, 1) =^{t} (0, 4; 0, 6)$ .

L'identité.

$K \partial_{1} f + L \partial_{2} f = 0, 4 K^{0, 4} L^{0, 6} + 0, 6 K^{0, 4} L^{0, 6} = K^{0, 4} L^{0, 6} = f .$

Sens économique. C'est l'identité d'Euler : les rendements d'échelle sont constants. On le vérifie directement : $f (2 K, 2 L) = 2^{0, 4} 2^{0, 6} f (K, L) = 2 f (K, L)$ — doubler les deux facteurs double exactement la production.

Énoncé

Corrigé

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