Vérifier le théorème de Schwarz

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 9 — Fonctions de deux variables réelles et recherche d'extrema · Calculer un gradient et une hessienne

Énoncé

Soit $f (x, y) = x^{2} y^{3}$ . Calculer les deux dérivées croisées $\partial_{1, 2}^{2} f$ et $\partial_{2, 1}^{2} f$ , et vérifier qu'elles coïncident.

Corrigé

Les dérivées d'ordre $1$ . $\partial_{1} f (x, y) = 2 x y^{3} (on g e ˋ le y), \partial_{2} f (x, y) = 3 x^{2} y^{2} (on g e ˋ le x) .$

Premier chemin : dériver $\partial_{2} f$ par rapport à $x$ . $\partial_{1, 2}^{2} f = \partial_{1} (3 x^{2} y^{2}) = 6 x y^{2} .$

Second chemin : dériver $\partial_{1} f$ par rapport à $y$ . $\partial_{2, 1}^{2} f = \partial_{2} (2 x y^{3}) = 6 x y^{2} .$

Conclusion. Les deux résultats sont égaux à $6 x y^{2}$ : l'ordre des deux dérivations n'a pas d'importance. C'est exactement ce qu'affirme le théorème de Schwarz, applicable ici puisque $f$ est polynomiale, donc de classe $C^{2}$ sur $R^{2}$ .

Pourquoi cela compte. Ce théorème garantit que la matrice hessienne $\nabla^{2} f (x, y) = (2 y^{3} 6 x y^{2} 6 x y^{2} 6 x^{2} y)$ est symétrique. C'est cette symétrie qui assure qu'elle est diagonalisable et qu'elle possède deux valeurs propres réelles — sans quoi le critère de nature d'un point critique n'aurait aucun sens.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.