Vérifier le théorème de Schwarz

Les dérivées d'ordre $1$. $${\partial }_{1}f(x,y)=2x{y}^3(\text{on geˋle }y),{\partial }_{2}f(x,y)=3x^2{y}^2(\text{on geˋle }x).$$

Premier chemin : dériver ${\partial }_{2}f$ par rapport à $x$. $${\partial }_{1,2}^{2}f={\partial }_1\left(3x^2{y}^2\right)=6x{y}^2.$$

Second chemin : dériver ${\partial }_{1}f$ par rapport à $y$. $${\partial }_{2,1}^{2}f={\partial }_2\left(2x{y}^3\right)=6x{y}^2.$$

Conclusion. Les deux résultats sont égaux à $6x{y}^2$ : l'ordre des deux dérivations n'a pas d'importance. C'est exactement ce qu'affirme le théorème de Schwarz, applicable ici puisque $f$ est polynomiale, donc de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$.

Pourquoi cela compte. Ce théorème garantit que la matrice hessienne $${\nabla }^{2}f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}2y^3& 6x{y}^2\\ 6x{y}^2& 6x^{2}y\end{array}\right)$$ est symétrique. C'est cette symétrie qui assure qu'elle est diagonalisable et qu'elle possède deux valeurs propres réelles — sans quoi le critère de nature d'un point critique n'aurait aucun sens.