Analyse-synthèse : une partie paire, une partie impaire

Ce qu'on montre. Existence et unicité. La méthode est le raisonnement par analyse-synthèse : on suppose d'abord le problème résolu pour en déduire la seule forme possible (analyse), puis on vérifie que cette forme convient (synthèse).

Analyse. Supposons qu'un tel couple $(g,h)$ existe. Pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $$f(x)=g(x)+h(x).$$ En remplaçant $x$ par $-x$, et en utilisant $g(-x)=g(x)$ (parité) et $h(-x)=-h(x)$ (imparité) : $$f(-x)=g(x)-h(x).$$ En additionnant puis en retranchant ces deux égalités : $$g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2},h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.$$ Les fonctions $g$ et $h$ sont donc imposées : il y a au plus un couple solution.

Point délicat. L'analyse n'a rien prouvé d'autre : elle a supposé l'existence. Sans la synthèse, on n'a établi que l'unicité.

Synthèse. Définissons $g$ et $h$ par les deux formules ci-dessus ; elles sont bien définies sur $\mathbb{R}$ tout entier.

• $g(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=g(x)$ : $g$ est paire.
• $h(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-h(x)$ : $h$ est impaire.
• $g(x)+h(x)=\frac{f(x)+f(-x)+f(x)-f(-x)}{2}=\frac{2f(x)}{2}=f(x)$.

Le couple $(g,h)$ convient donc.

Conclusion. Il existe un unique couple $(g,h)$, $g$ paire et $h$ impaire, avec $f=g+h$ ; il est donné par les deux formules obtenues à l'analyse.