Composer, et ne pas commuter

Ce qu'on montre. Deux composées, leur différence, et une réciproque.

Les deux composées. Par définition, $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ : on applique $f$ d'abord. $$(g\circ f)(x)=g(x+1)=(x+1{)}^2=x^2+2x+1.$$ Dans l'autre ordre : $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2)=x^2+1.$$

Conclusion. Ces deux fonctions sont distinctes : en $x=1$, $(g\circ f)(1)=4$ tandis que $(f\circ g)(1)=2$. Un seul point où elles diffèrent suffit à conclure $g\circ f\ne f\circ g$ : la composition n'est pas commutative.

La réciproque de $f$. Cherchons, pour $y\in \mathbb{R}$ fixé, les $x$ tels que $f(x)=y$ : $$x+1=y⟺x=y-1.$$ Il y a une solution et une seule pour chaque $y$ : $f$ est bijective de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, et $$f^{-1}:\mathbb{R}\to \mathbb{R},y\mapsto y-1.$$

Vérification. $(f^{-1}\circ f)(x)=(x+1)-1=x$ et $(f\circ f^{-1})(y)=(y-1)+1=y$ : les deux composées valent l'identité, comme il se doit.

Remarque. $g$, elle, n'est pas bijective de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ ($g(-1)=g(1)$), donc « $g^{-1}$ » n'aurait pas de sens ici.