mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 1 · Exercice d'entraînement

Compter les couples de parties emboîtées

Raisonnement et vocabulaire ensembliste · Sommes, produits et binôme · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments. Dénombrer les couples $(A,B)$ de parties de $E$ tels que $A\subset B$, d'abord en fixant le cardinal de $B$, puis en décidant du sort de chaque élément. En déduire que $\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)2^k=3^n$.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.