Contraposer, puis raisonner par l'absurde

Première étape : la contraposée. La contraposée de « $n^2$ pair $\Rightarrow$ $n$ pair » est « $n$ impair $\Rightarrow$ $n^2$ impair », et les deux ont toujours la même valeur de vérité. La seconde est directe : si $n=2k+1$ avec $k\in \mathbb{N}$, alors $$n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1,$$ qui est impair. La contraposée est vraie, donc l'implication de départ aussi.

Seconde étape : l'absurde. Supposons $\sqrt{2}$ rationnel. Il s'écrit alors $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ avec $p\in \mathbb{Z}$, $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, et l'on peut choisir cette écriture irréductible : $p$ et $q$ ne sont pas tous deux pairs. En élevant au carré, $2q^2=p^2$.

Donc $p^2$ est pair, donc $p$ est pair par la première étape : $p=2p^{\prime }$. En reportant, $2q^2=4p^{\prime 2}$, c'est-à-dire $q^2=2p^{\prime 2}$. Donc $q^2$ est pair, donc $q$ est pair, toujours par la première étape.

$p$ et $q$ sont alors tous deux pairs, ce qui contredit l'irréductibilité choisie. L'hypothèse était donc fausse : $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel.

Le point à retenir. Chaque raisonnement indirect sert là où le direct échoue. La contraposition remplace une hypothèse inexploitable ($n^2$ pair) par une hypothèse calculable ($n$ impair, qui s'écrit $2k+1$). L'absurde, lui, exige une hypothèse supplémentaire que la contradiction viendra briser : ici l'irréductibilité, sans laquelle rien ne se contredirait.