Démontrer, ou donner un contre-exemple

Ce qu'on montre. Le statut de trois propositions. Une proposition universelle se réfute par un seul contre-exemple ; une proposition existentielle se démontre par un seul exemple.

$(i)$ est fausse. Prenons $x=\frac{1}{2}$ : alors $x^2=\frac{1}{4}$ et $\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$. Un contre-exemple suffit : la proposition affirmait quelque chose pour tous les réels.

$(ii)$ est vraie. Soit $x\in \mathbb{R}$. Si $x\ge 0$, le produit $x\times x$ de deux réels positifs est positif. Si $x<0$, le produit de deux réels strictement négatifs est strictement positif. Dans les deux cas $x^2\ge 0$.

$(iii)$ est vraie. Le même $x=\frac{1}{2}$ convient : $\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$.

Le lien entre $(i)$ et $(iii)$. La négation de $(i)$ s'écrit $$\exists x\in \mathbb{R},x^2<x,$$ c'est-à-dire exactement $(iii)$. Il n'y a donc pas deux questions mais une seule : $(i)$ est fausse si et seulement si $(iii)$ est vraie, et le réel $x=\frac{1}{2}$ règle les deux d'un coup.

Pour aller un peu plus loin. $x^2<x⟺x(x-1)<0⟺0<x<1$ : les contre-exemples à $(i)$ sont exactement les réels de $\left]0,1\right[$.