Deux ensembles de diviseurs

Ce qu'on montre. Deux ensembles en extension, une inclusion, et deux cardinaux.

En extension. En essayant successivement $1,2,\dots$ : $$A=\{1,2,3,4,6,12\},B=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}.$$ Pour $A$ : $5$ ne divise pas $12$ (car $12=5\times 2+2$), ni $7,8,9,10,11$ ; au-delà de $12$ aucun diviseur positif n'est possible.

L'inclusion $A\subset B$. C'est une implication à démontrer pour un élément quelconque. Soit $n\in A$ : il existe $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $12=nk$. Alors $$24=2\times 12=n(2k),$$ avec $2k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ : donc $n$ divise $24$, c'est-à-dire $n\in B$. Comme $n$ était quelconque dans $A$, on a bien $A\subset B$.

On peut aussi le lire sur les listes : chaque élément de $A$ figure dans $B$. L'inclusion est stricte, puisque $8\in B$ et $8\notin A$.

Les cardinaux. En comptant les éléments listés, $\mathrm{card}(A)=6$. L'ensemble des parties d'un ensemble à $p$ éléments en compte $2^p$, donc $$\mathrm{card}(\mathcal{P}(A))=2^6=64.$$

Point délicat. $\mathcal{P}(A)$ n'est pas un ensemble de nombres mais un ensemble de parties : ses éléments sont $\varnothing$, $\{1\}$, $\{1,2\}$, … Écrire $2\in \mathcal{P}(A)$ serait une faute ; $\{2\}\in \mathcal{P}(A)$ est correct.