Deux sommes de coefficients binomiaux

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · Coefficients binomiaux

Énoncé

En développant $(1 + 1)^{n}$ puis $(1 - 1)^{n}$ par la formule du binôme, montrer que $\sum_{k = 0}^{n} (k n) = 2^{n}$ et, pour $n \geq 1$ , $\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (k n) = 0$ . Interpréter la première égalité en termes de parties de $E$ .

Corrigé

Première somme. La formule du binôme donne $(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) a^{k} b^{n - k}$ . Avec $a = b = 1$ :

$2^{n} = (1 + 1)^{n} = k = 0 \sum n (k n) .$

Seconde somme. Avec $a = - 1$ et $b = 1$ :

$0 = (1 - 1)^{n} = k = 0 \sum n (- 1)^{k} (k n), n \geq 1.$

La restriction $n \geq 1$ est indispensable : pour $n = 0$ , le membre de gauche vaut $0^{0} = 1$ , et la somme vaut $1$ elle aussi — l'égalité à $0$ serait fausse.

Interprétation. $(k n)$ compte les parties à $k$ éléments d'un ensemble $E$ à $n$ éléments. Sommer sur tous les $k$ compte donc toutes les parties, chacune une fois exactement : c'est $Card P (E) = 2^{n}$ . On retrouve le comptage par choix binaires — pour chaque élément, dedans ou dehors.

La seconde égalité dit alors qu'il y a autant de parties de cardinal pair que de cardinal impair, dès que $E$ n'est pas vide.

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