Développer par le binôme

Ce qu'on montre. Deux développements, en appliquant $(a+b{)}^n={\sum }_{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k{b}^{n-k}$.

Les coefficients. La relation de Pascal $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{p-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{p}\right)$ donne les lignes du triangle : $$n=4:1,4,6,4,1\text{et}n=5:1,5,10,10,5,1.$$

Premier développement. Avec $a=x$, $b=2$, $n=4$ : $$(x+2{)}^4=\sum _{k=0}^4(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{k})x^k{2}^{4-k}=x^4+4\cdot 2x^3+6\cdot 4x^2+4\cdot 8x+16,$$ soit $$(x+2{)}^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16.$$

Second développement. Avec $a=-x$, $b=1$, $n=5$ : le facteur $(-1{)}^k$ apparaît et fait alterner les signes. $$(1-x{)}^5=\sum _{k=0}^5(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{k})(-x{)}^k=1-5x+10x^2-10x^3+5x^4-x^5.$$

Point délicat. C'est bien $(-x{)}^k$ qu'il faut élever à la puissance, et non $-x^k$ : le signe moins fait partie de la base. Oublier la parenthèse donne tous les signes faux sauf un.

Contrôle. En $x=1$ : le premier développement donne $1+8+24+32+16=81=3^4$, qui est bien $(1+2{)}^4$. Le second donne $1-5+10-10+5-1=0=(1-1{)}^5$.