Distribuer, puis simplifier

Ce qu'on montre. Deux égalités d'ensembles. On dispose de la distributivité de $\cap$ sur $\cup$ et réciproquement, ainsi que de $A\cap \overline{A}=\varnothing$ et $A\cup \overline{A}=E$.

Première égalité. Par distributivité de $\cap$ sur $\cup$ : $$(A\cup B)\cap \overline{A}=(A\cap \overline{A})\cup (B\cap \overline{A})=\varnothing \cup (B\cap \overline{A})=B\cap \overline{A}.$$ L'ensemble vide est neutre pour la réunion, d'où la dernière simplification.

Seconde égalité. Par distributivité de $\cup$ sur $\cap$ : $$A\cup (\overline{A}\cap B)=(A\cup \overline{A})\cap (A\cup B)=E\cap (A\cup B)=A\cup B,$$ car $A\cup B$ est une partie de $E$, donc son intersection avec $E$ est lui-même.

Le même résultat par double inclusion. Pour la seconde égalité, en revenant aux éléments :

• $\subset$ : soit $x\in A\cup (\overline{A}\cap B)$. Si $x\in A$, alors $x\in A\cup B$. Sinon $x\in \overline{A}\cap B$, donc $x\in B\subset A\cup B$.
• $\supset$ : soit $x\in A\cup B$. Si $x\in A$, c'est fini. Sinon $x\in B$ et $x\notin A$, donc $x\in \overline{A}\cap B$.

Point délicat. Il y a deux distributivités, et elles ne s'emploient pas au même endroit : la première égalité distribue $\cap$ sur $\cup$, la seconde $\cup$ sur $\cap$. Les confondre produit une écriture qui n'a plus de sens.