Divisibilité par 3

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · Récurrence

Énoncé

Montrer que pour tout $n \in N$ , $4^{n} + 5$ est divisible par $3$ .

Corrigé

Initialisation. $4^{0} + 5 = 6 = 3 \times 2$ .

Hérédité. Supposons $3 ∣ 4^{n} + 5$ , disons $4^{n} + 5 = 3 q$ . Alors

$4^{n + 1} + 5 = 4 \times 4^{n} + 5 = 4 (4^{n} + 5) - 15 = 12 q - 15 = 3 (4 q - 5),$

divisible par $3$ .

Conclusion. La propriété vaut pour tout $n \in N$ .

Plus court, par congruences. $4 \equiv 1 (mod 3)$ , donc $4^{n} \equiv 1^{n} = 1$ , et $4^{n} + 5 \equiv 1 + 5 = 6 \equiv 0 (mod 3)$ . La récurrence n'est que la version détaillée de ce calcul — mais elle a l'avantage de ne rien supposer d'autre que les opérations élémentaires.

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