Échanger deux quantificateurs change tout

Ce qu'on montre. $(P_1)$ est vraie, $(P_2)$ est fausse : seule la place du $\exists$ les sépare.

$(P_1)$ est vraie. Soit $x\in \mathbb{R}$ fixé. Posons $y=x^2+1$. C'est un réel, et $y>x^2=f(x)$. Comme $x$ était quelconque, $(P_1)$ est démontrée. Noter que le $y$ produit dépend de $x$ : c'est exactement ce que la lecture de gauche à droite autorise, le $\exists y$ étant écrit après le $\forall x$.

$(P_2)$ est fausse. Sa négation s'obtient en échangeant les quantificateurs dans l'ordre et en niant la conclusion : $$\forall y\in \mathbb{R},\exists x\in \mathbb{R},y\le f(x).$$ Démontrons cette négation. Soit $y\in \mathbb{R}$ fixé. Posons $x=\sqrt{|y|+1}$, qui est bien défini car $|y|+1>0$. Alors $$f(x)=x^2=|y|+1>|y|\ge y,$$ donc $y\le f(x)$. La négation est vraie, donc $(P_2)$ est fausse.

Ce que $(P_2)$ dit vraiment. Un $y$ qui convient pour tous les $x$ est un majorant de $f$ : $(P_2)$ affirme que $x\mapsto x^2$ est majorée, ce qu'elle n'est pas.

Un cas où les deux sont vraies. Prenons $g(x)=\frac{1}{1+x^2}$. Pour tout $x$, $1+x^2\ge 1>0$ donc $0<g(x)\le 1<2$. Le réel $y=2$ convient pour tous les $x$ à la fois : $(P_2)$ est vraie, et $(P_1)$ l'est a fortiori.

Conclusion. $(P_2)\Rightarrow (P_1)$ toujours — un $y$ universel convient en particulier à chaque $x$ — mais la réciproque est fausse, comme $f$ le montre.