Factorielles et coefficients, à simplifier

Ce qu'on montre. Trois simplifications reposant sur la seule définition $n!=1\times 2\times \cdots \times n$ et $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p}\right)=\frac{n!}{p!(n-p)!}$.

Le quotient de factorielles. Par définition, $(n+2)!=(n+2)\times (n+1)\times n!$, donc $$\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)=n^2+3n+2.$$ On ne calcule jamais les deux factorielles séparément : elles deviennent gigantesques alors que leur quotient reste un polynôme du second degré.

Le coefficient $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)$. Pour $n\ge 2$ : $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!}=\frac{n(n-1)}{2}.$$ Lecture : c'est le nombre de paires que l'on peut former dans un ensemble à $n$ éléments.

Les deux valeurs numériques. $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=\frac{720}{6}=120.$$ Pour le second, inutile de recalculer : la symétrie $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-p}\right)$ donne $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{7}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{10-7}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=120.$$

Point délicat. La symétrie n'est pas une astuce de calcul mais un fait de dénombrement : choisir les $7$ éléments qu'on garde, c'est choisir les $3$ qu'on laisse. Les deux choix se correspondent un à un.