Factorielles et coefficients, à simplifier

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · Sommes, produits et binôme

Énoncé

Simplifier $\frac{( n + 2 )!}{n !}$ pour $n \in N$ , puis exprimer $(2 n)$ en fonction de $n$ pour $n \geq 2$ . Calculer enfin $(3 10)$ et $(7 10)$ .

Corrigé

Ce qu'on montre. Trois simplifications reposant sur la seule définition $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ et $(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$ .

Le quotient de factorielles. Par définition, $(n + 2)! = (n + 2) \times (n + 1) \times n!$ , donc $\frac{( n + 2 )!}{n !} = (n + 2) (n + 1) = n^{2} + 3 n + 2.$ On ne calcule jamais les deux factorielles séparément : elles deviennent gigantesques alors que leur quotient reste un polynôme du second degré.

Le coefficient $(2 n)$ . Pour $n \geq 2$ : $(2 n) = \frac{n !}{2 ! ( n - 2 )!} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )!}{2 ( n - 2 )!} = \frac{n ( n - 1 )}{2} .$ Lecture : c'est le nombre de paires que l'on peut former dans un ensemble à $n$ éléments.

Les deux valeurs numériques. $(3 10) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120.$ Pour le second, inutile de recalculer : la symétrie $(p n) = (n - p n)$ donne $(7 10) = (10 - 7 10) = (3 10) = 120.$

Point délicat. La symétrie n'est pas une astuce de calcul mais un fait de dénombrement : choisir les $7$ éléments qu'on garde, c'est choisir les $3$ qu'on laisse. Les deux choix se correspondent un à un.

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