Inclusion, réunion, intersection

$A\subset B\Rightarrow A\cup B=B$. L'inclusion $B\subset A\cup B$ est toujours vraie. Réciproquement, si $x\in A\cup B$, alors $x\in B$, ou bien $x\in A\subset B$ : dans les deux cas $x\in B$.

$A\cup B=B\Rightarrow A\subset B$. On a toujours $A\subset A\cup B$, qui vaut $B$ par hypothèse.

$A\subset B\Rightarrow A\cap B=A$. L'inclusion $A\cap B\subset A$ est toujours vraie ; et $x\in A$ entraîne $x\in B$ donc $x\in A\cap B$.

$A\cap B=A\Rightarrow A\subset B$. On a $A=A\cap B\subset B$.

Les trois propositions sont donc équivalentes.

La méthode, invariable : une égalité d'ensembles se démontre par double inclusion, et une inclusion en partant d'un élément quelconque. On remarquera que dans chaque paire, une des deux inclusions est gratuite — c'est l'autre qui utilise l'hypothèse.