Injective, surjective, bijective

Ce qu'on montre. Le statut de quatre applications — dont trois ont la même formule et diffèrent seulement par leurs ensembles de départ et d'arrivée.

$f$ est bijective. Injective : si $2x+3=2x^{\prime }+3$ alors $2x=2x^{\prime }$ puis $x=x^{\prime }$. Surjective : soit $y\in \mathbb{R}$ ; le réel $x=\frac{y-3}{2}$ vérifie $f(x)=y$. Sa réciproque est $y\mapsto \frac{y-3}{2}$.

$g$ n'est ni injective ni surjective. Non injective : $g(-1)=g(1)=1$ avec $-1\ne 1$. Non surjective : $-1$ n'a pas d'antécédent, puisque $x^2\ge 0$ pour tout réel $x$.

$h$ est surjective, non injective. Surjective : soit $y\in {\mathbb{R}}_{+}$ ; alors $\sqrt{y}$ existe et $h(\sqrt{y})=y$. Non injective : $h(-1)=h(1)=1$. L'ensemble d'arrivée a été réduit à ${\mathbb{R}}_{+}$, ce qui a corrigé la surjectivité — pas l'injectivité, qui se joue au départ.

$\ell$ est bijective. Injective : si $x^2=x^{\prime 2}$ avec $x,x^{\prime }\ge 0$, alors $x=\sqrt{x^2}=\sqrt{x^{\prime 2}}=x^{\prime }$. Surjective : comme pour $h$. Sa réciproque est $y\mapsto \sqrt{y}$.

Ce que l'exercice enseigne. Injectivité et surjectivité ne sont pas des propriétés de la formule : ce sont des propriétés du triplet (départ, arrivée, formule). Restreindre l'ensemble d'arrivée peut donner la surjectivité ; restreindre l'ensemble de départ peut donner l'injectivité.