Injectivité d'une composée

$f$ est injective. Soient $x$ et $x^{\prime }$ dans $E$ tels que $f(x)=f(x^{\prime })$. En appliquant $g$ aux deux membres, $g(f(x))=g(f(x^{\prime }))$, c'est-à-dire $(g\circ f)(x)=(g\circ f)(x^{\prime })$. L'injectivité de $g\circ f$ donne alors $x=x^{\prime }$. Donc $f$ est injective.

$g$ est injective, si $f$ est surjective. Soient $y,y^{\prime }\in F$ tels que $g(y)=g(y^{\prime })$. La surjectivité de $f$ fournit $x,x^{\prime }\in E$ avec $y=f(x)$ et $y^{\prime }=f(x^{\prime })$. Alors $$(g\circ f)(x)=g(y)=g(y^{\prime })=(g\circ f)(x^{\prime }),$$ donc $x=x^{\prime }$ par injectivité de $g\circ f$, donc $y=f(x)=f(x^{\prime })=y^{\prime }$. Donc $g$ est injective.

Sans la surjectivité de $f$. La conclusion tombe. Prenons $E=\{1\}$, $F=\{1,2\}$, $G=\{1\}$, avec $f(1)=1$ et $g(1)=g(2)=1$. Alors $g\circ f$ est injective — elle est définie sur un singleton — tandis que $g$ ne l'est pas, puisque $g(1)=g(2)$. La raison est lisible : $f$ n'atteint pas $2$, donc $g\circ f$ ne « voit » jamais le point où $g$ se trompe.

Le point à retenir. Dans une composée, chaque propriété descend sur une seule des deux applications, et toujours la même : l'injectivité de $g\circ f$ sur $f$, qu'on applique en premier ; sa surjectivité sur $g$, qu'on applique en dernier. Pour conclure sur l'autre il faut chaque fois une hypothèse supplémentaire, et le contre-exemple dit laquelle.