L'inégalité de Bernoulli, et son hypothèse

Fixons $x\ge -1$ et notons $P(n)$ la proposition $(1+x{)}^n\ge 1+nx$.

Initialisation. $P(0)$ : $(1+x{)}^0=1$ et $1+0\times x=1$. L'inégalité est vraie (comme égalité).

Hérédité. Soit $n\in \mathbb{N}$ fixé, et supposons $P(n)$. Comme $x\ge -1$, le nombre $1+x$ est positif ou nul ; on peut donc multiplier l'inégalité $P(n)$ par $1+x$ sans en changer le sens : $$(1+x{)}^{n+1}=(1+x{)}^n(1+x)\ge (1+nx)(1+x).$$ Or $(1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+n{x}^2$, et $n{x}^2\ge 0$ puisque $n\ge 0$ et $x^2\ge 0$. Donc $$(1+x{)}^{n+1}\ge 1+(n+1)x,$$ ce qui est $P(n+1)$.

Conclusion. $P(n)$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Où sert l'hypothèse. À une seule ligne : celle où l'on multiplie par $1+x$. Multiplier une inégalité par un nombre négatif la renverse, et toute la récurrence s'effondrerait. L'hypothèse n'est pas décorative : pour $x=-4$ et $n=3$, on a $(1+x{)}^3=(-3{)}^3=-27$ tandis que $1+3x=-11$, et $-27\ge -11$ est faux.

Le point à retenir. Dans une récurrence, on doit savoir nommer l'endroit où chaque hypothèse est consommée. Celle qui ne sert nulle part est de trop ; celle qu'on oublie de vérifier produit une démonstration qui semble tourner et conclut faux.