La relation de Pascal, en acte

La relation affirme $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)$. Calculons les trois :

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=\frac{5\times 4}{2}=10,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=\frac{5\times 4\times 3}{6}=10.$$

Et $10+10=20$ : la relation est vérifiée.

Pourquoi elle est vraie. Choisissons $3$ éléments parmi $6$ et distinguons selon qu'un élément fixé $a$ est retenu ou non. S'il l'est, il reste $2$ éléments à prendre parmi les $5$ autres : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)$ façons. S'il ne l'est pas, il faut les $3$ parmi ces $5$ : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)$. Les deux cas sont disjoints et couvrent tout.

C'est ce raisonnement — et non la formule avec factorielles — qui donne le triangle de Pascal, où chaque terme est la somme des deux au-dessus.