La somme des entiers impairs, par deux chemins

Ce qu'on montre. Que ${\sum }_{k=1}^n(2k-1)=n^2$, par deux chemins indépendants — ce qui vaut contrôle.

Premier chemin : la linéarité. Une somme finie se coupe terme à terme, et une constante se somme $n$ fois : $$\sum _{k=1}^n(2k-1)=2\sum _{k=1}^{n}k-\sum _{k=1}^{n}1=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}-n=n(n+1)-n=n^2.$$

Second chemin : une différence de deux sommes. Les entiers impairs de $1$ à $2n-1$ sont exactement les entiers de $1$ à $2n$ privés des entiers pairs $2,4,\dots ,2n$. D'où $$\sum _{k=1}^n(2k-1)=\sum _{k=1}^{2n}k-\sum _{k=1}^{n}2k.$$ Or ${\sum }_{k=1}^{2n}k=\frac{2n(2n+1)}{2}=n(2n+1)=2n^2+n$, et ${\sum }_{k=1}^{n}2k=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}=n^2+n$. La différence vaut $$(2n^2+n)-(n^2+n)=n^2.$$

Point délicat. Dans le second chemin, la première somme va jusqu'à $2n$ et non jusqu'à $n$ : c'est la borne qui change, pas seulement le terme général. Écrire ${\sum }_{k=1}^{n}k$ à la place donnerait un résultat faux.

Conclusion. ${\sum }_{k=1}^n(2k-1)=n^2$ : la somme des $n$ premiers entiers impairs est le carré de $n$. Contrôle : $1+3+5+7=16=4^2$.