La somme des $k{q}^k$

Ce qu'on montre. Une formule fermée pour $S_n$. L'outil autorisé est la somme géométrique ${\sum }_{k=0}^n{q}^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour $q\ne 1$, et le décalage d'indice.

Le calcul. D'une part $S_n={\sum }_{k=0}^{n}k{q}^k$ ; d'autre part $$q{S}_n=\sum _{k=0}^{n}k{q}^{k+1}=\sum _{j=1}^{n+1}(j-1)q^j,$$ par le changement d'indice $j=k+1$ (l'indice est muet : on peut le renommer $k$). Retranchons, en notant que le terme $k=0$ de $S_n$ est nul : $$S_n-q{S}_n=\sum _{k=1}^n(k-(k-1))q^k-n{q}^{n+1}=\sum _{k=1}^n{q}^k-n{q}^{n+1}.$$ Le terme $-n{q}^{n+1}$ est celui d'indice $n+1$, présent dans $q{S}_n$ seulement.

Or ${\sum }_{k=1}^n{q}^k={\sum }_{k=0}^n{q}^k-1=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}-1=\frac{q-q^{n+1}}{1-q}$. Donc $$(1-q)S_n=\frac{q-q^{n+1}}{1-q}-n{q}^{n+1},\text{d’ouˋ}{S}_n=\frac{q-q^{n+1}}{(1-q{)}^2}-\frac{n{q}^{n+1}}{1-q}.$$ La division par $1-q$ est licite puisque $q\ne 1$.

Contrôle. Pour $n=1$ et $q=2$ : $S_1=0+1\times 2=2$. La formule donne $\frac{2-4}{1}-\frac{1\times 4}{-1}=-2+4=2$. Pour $n=2$, $q=2$ : $S_2=2+2\times 4=10$ ; formule : $\frac{2-8}{1}-\frac{2\times 8}{-1}=-6+16=10$.