Quantifier, puis nier

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · Logique et quantificateurs

Énoncé

Écrire avec des quantificateurs puis nier : « $f$ est minorée », « la suite $(u_{n})$ prend au moins une fois une valeur négative », « tout élément de $A$ appartient à $B$ ».

Corrigé

Minorée : $\exists m \in R, \forall x, f (x) \geq m$ . Négation : $\forall m \in R, \exists x, f (x) < m$ — la fonction descend sous toute barre fixée d'avance.

Une valeur négative : $\exists n \in N, u_{n} < 0$ . Négation : $\forall n \in N, u_{n} \geq 0$ .

Inclusion : $\forall x, (x \in A \Rightarrow x \in B)$ . Négation : $\exists x, (x \in A et x \in / B)$ — car la négation d'une implication est « prémisse vraie et conclusion fausse », jamais une autre implication.

La mécanique est toujours la même : échanger $\forall$ et $\exists$ en conservant leur ordre, puis nier la propriété finale. Dans la première, $m$ ne dépend pas de $x$ ; la négation le rappelle en faisant dépendre $x$ de $m$ .

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