Raisonner par équivalences, et le justifier

Ce qu'on montre. L'inégalité, et le cas d'égalité. L'outil est la chaîne d'équivalences : chaque pas doit être réversible, faute de quoi on ne démontre rien.

La chaîne. Comme $a>0$ et $b>0$, le produit $ab$ est strictement positif. $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2⟺\frac{a^2+b^2}{ab}\ge 2⟺a^2+b^2\ge 2ab⟺a^2-2ab+b^2\ge 0⟺(a-b{)}^2\ge 0.$$

Justification de chaque pas.

1. Réduction au même dénominateur : c'est une réécriture du même nombre, donc une équivalence.
2. Multiplication des deux membres par $ab$. C'est le point délicat : multiplier une inégalité par un réel conserve le sens si et seulement si ce réel est strictement positif. Ici $ab>0$ par hypothèse ; si le signe de $ab$ était inconnu, ce pas serait faux.
3. Retrancher $2ab$ aux deux membres : ajouter un même réel conserve l'ordre, et l'opération inverse aussi.
4. Identité remarquable : réécriture.

La dernière proposition est vraie, car un carré de réel est positif. Toutes les propositions de la chaîne lui étant équivalentes, la première est vraie.

Cas d'égalité. L'égalité $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=2$ équivaut, par la même chaîne, à $(a-b{)}^2=0$, c'est-à-dire à $a=b$. Réciproquement, si $a=b$ la somme vaut $1+1=2$.

Conclusion. Pour tous $a,b>0$, $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$, avec égalité si et seulement si $a=b$.