Réciproque et contraposée

Ce qu'on montre. Le statut de trois énoncés, et la différence de nature entre réciproque et contraposée.

L'implication de départ est vraie. Soit $n$ un multiple de $4$ : il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $n=4k$. Alors $n=2(2k)$ avec $2k\in \mathbb{Z}$, donc $n$ est pair.

La réciproque s'obtient en échangeant prémisse et conclusion : « si $n$ est pair, alors $n$ est un multiple de $4$ ». Elle est fausse : $n=2$ est pair, et $2$ n'est pas multiple de $4$ (sinon $2=4k$ donnerait $k=\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z}$).

La contraposée s'obtient en niant les deux membres et en les échangeant : « si $n$ n'est pas pair, alors $n$ n'est pas un multiple de $4$ », autrement dit « si $n$ est impair, alors $n$ n'est pas multiple de $4$ ». Elle est vraie.

Pourquoi elle est vraie sans nouveau calcul. Une implication et sa contraposée sont deux écritures de la même proposition : elles sont équivalentes. La contraposée hérite donc de la vérité de l'implication de départ, démontrée plus haut. Aucune vérification supplémentaire n'est nécessaire.

Ce qu'il faut retenir. Une implication équivaut à sa contraposée, jamais à sa réciproque. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente : ici l'implication est vraie et sa réciproque fausse, ce qui suffit à les séparer.