Somme des carrés

Initialisation. Pour $n=1$ : la somme vaut $1$, et $\frac{1\times 2\times 3}{6}=1$.

Hérédité. Supposons la formule vraie pour un $n\ge 1$ fixé. Alors

$$\sum _{k=1}^{n+1}{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1{)}^2=\frac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}.$$

Or $2n^2+7n+6=(n+2)(2n+3)$, d'où

$$\sum _{k=1}^{n+1}{k}^2=\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6},$$

qui est bien la formule au rang $n+1$.

Conclusion. La formule vaut pour tout $n\ge 1$.

Le point de méthode : ne jamais développer entièrement. On factorise par $(n+1)$ dès la première ligne, et l'on cherche ensuite à faire apparaître $(n+2)$ et $(2n+3)$ — c'est-à-dire la cible. Développer les deux côtés et comparer marche aussi, mais oblige à un calcul deux fois plus long.