Surjectivité d'une composée

Le sens direct. Soit $z\in G$. Par surjectivité de $g\circ f$, il existe $x\in E$ tel que $(g\circ f)(x)=z$, c'est-à-dire $g(f(x))=z$. En posant $y=f(x)\in F$, on a trouvé un antécédent de $z$ par $g$. Donc $g$ est surjective.

La réciproque est fausse. Prenons $E=\mathbb{R}$, $F=G=\mathbb{R}$, avec $f:x\mapsto 0$ (constante) et $g={\mathrm{id}}_{\mathbb{R}}$ (surjective). Alors $g\circ f$ est constante égale à $0$ : elle n'atteint pas $1$, donc n'est pas surjective.

Le parallèle à retenir. Si $g\circ f$ est injective, c'est $f$ — la première appliquée — qui hérite de la propriété ; si $g\circ f$ est surjective, c'est $g$, la dernière. Les deux énoncés sont symétriques l'un de l'autre, et il suffit de repenser à la définition pour retrouver lequel est lequel.