Télescoper, puis échanger deux sommes

Le télescopage. Cherchons $a$ et $b$ tels que $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k+1}$ : au même dénominateur, $a(k+1)+bk=1$ pour tout $k$, donc $a+b=0$ et $a=1$ : $$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}.$$ En posant $t_k=\frac{1}{k}$, la somme vaut ${\sum }_{k=1}^n(t_k-t_{k+1})$ : chaque $-t_{k+1}$ est annulé par le $+t_{k+1}$ du terme suivant, et il ne reste que le premier et le dernier : $$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=t_1-t_{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.$$

L'échange des sommations. La double somme porte sur l'ensemble d'indices $A=\{(i,j)\in {\mathbb{N}}^2\mid 1\le i\le j\le n\}$, et elle en compte les éléments, puisque le terme sommé vaut $1$.

En sommant d'abord sur $j$ : à $i$ fixé, $j$ décrit $\{i,\dots ,n\}$, soit $n-i+1$ valeurs. La somme vaut ${\sum }_{i=1}^n(n-i+1)$, et le changement d'indice $m=n-i+1$ donne ${\sum }_{m=1}^{n}m=\frac{n(n+1)}{2}$.

En sommant d'abord sur $i$ : à $j$ fixé, la condition $1\le i\le j$ dit que $i$ décrit $\{1,\dots ,j\}$, soit $j$ valeurs. La somme vaut donc ${\sum }_{j=1}^{n}j=\frac{n(n+1)}{2}$.

Les deux lectures donnent le même nombre : on a compté deux fois le même ensemble.

Le point à retenir. Le point délicat de l'échange n'est pas la formule, c'est le domaine d'indices. On ne permute pas les bornes, on relit la condition $1\le i\le j\le n$ à partir de l'autre variable. Écrire ce domaine en clair avant d'échanger évite l'erreur la plus fréquente du calcul de sommes.