Trois sommes de référence

Ce qu'on montre. Trois calculs, appuyés sur les deux sommes de référence : ${\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ et ${\sum }_{k=0}^n{q}^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour $q\ne 1$.

Première somme. Avec $n=20$ : $$\sum _{k=1}^{20}k=\frac{20\times 21}{2}=210.$$

Deuxième somme. Ici $q=3\ne 1$, donc $$\sum _{k=0}^n{3}^k=\frac{1-3^{n+1}}{1-3}=\frac{3^{n+1}-1}{2}.$$ Contrôle pour $n=2$ : $1+3+9=13$, et $\frac{27-1}{2}=13$.

Troisième somme. La borne inférieure n'est pas $1$ : on complète puis on retranche. $$\sum _{k=5}^{15}k=\sum _{k=1}^{15}k-\sum _{k=1}^{4}k=\frac{15\times 16}{2}-\frac{4\times 5}{2}=120-10=110.$$

Point délicat. Ce qu'on retranche s'arrête à $k=4$, et non à $k=5$ : le terme $k=5$ fait partie de la somme cherchée. Une erreur d'une unité sur cette borne est l'erreur classique.

Contrôle indépendant. La somme comporte $15-5+1=11$ termes en progression arithmétique ; sa valeur est le produit du nombre de termes par la demi-somme des extrêmes : $$11\times \frac{5+15}{2}=11\times 10=110.$$