mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 1 · Exercice d'entraînement

Un produit qui se démontre par récurrence

Raisonnement et vocabulaire ensembliste · Récurrence · niveau 2

Énoncé

Démontrer que pour tout entier $n \geq 2$ , $k = 2 \prod n (1 - \frac{1}{k ^{2}}) = \frac{n + 1}{2 n} .$

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Élève

J'ai initialisé à $n = 2$ . Dans l'hérédité, j'obtiens $\frac{n + 1}{2 n} (1 - \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}})$ , et en développant tout le calcul devient vite lourd.

Avant de développer, écris $1 - \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}}$ sous un seul trait de fraction. Son numérateur est une différence de deux carrés : comment le factoriser ?

Élève

Le numérateur est $(n + 1)^{2} - 1$ , donc $(n + 1 - 1) (n + 1 + 1)$ , c'est-à-dire $n (n + 2)$ .

Bien. Quels facteurs se simplifient alors avec $\frac{n + 1}{2 n}$ , et sous quelle forme dois-tu reconnaître le résultat pour affirmer que la propriété est vraie au rang $n + 1$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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