Un télescopage qui livre la somme des cubes

Ce qu'on montre. La somme des cubes, sans récurrence : un télescopage fournit une équation dont elle est l'inconnue.

Première façon : télescoper. La somme ${\sum }_{k=1}^n((k+1{)}^4-k^4)$ est télescopique : chaque $(k+1{)}^4$ est retranché au rang suivant. Il ne reste que les extrêmes : $$\sum _{k=1}^n((k+1{)}^4-k^4)=(n+1{)}^4-1^4=(n+1{)}^4-1.$$

Seconde façon : développer. Par la formule du binôme, $(k+1{)}^4=k^4+4k^3+6k^2+4k+1$, donc $(k+1{)}^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1$. En sommant et en utilisant la linéarité, avec $S_3={\sum }_{k=1}^n{k}^3$ : $$\sum _{k=1}^n((k+1{)}^4-k^4)=4S_3+6\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+4\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n.$$

L'équation, puis sa résolution. En égalant les deux expressions : $$4S_3=(n+1{)}^4-1-n-2n(n+1)-n(n+1)(2n+1).$$ Comme $(n+1{)}^4-1-n=(n+1{)}^4-(n+1)$, on met $(n+1)$ en facteur dans les quatre termes : $$4S_3=(n+1)[(n+1{)}^3-1-2n-n(2n+1)].$$ Or $(n+1{)}^3=n^3+3n^2+3n+1$, donc le crochet vaut $$n^3+3n^2+3n+1-1-2n-2n^2-n=n^3+n^2=n^2(n+1).$$ D'où $4S_3=(n+1)n^2(n+1)=n^2(n+1{)}^2$, puis $$S_3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2.$$

Contrôle. Pour $n=3$ : $1+8+27=36$, et ${\left(\frac{3\times 4}{2}\right)}^2=6^2=36$.