Une involution sur les parties de $E$

Ce qu'on montre. Une caractérisation par éléments, puis $\phi \circ \phi =\mathrm{id}$, dont la bijectivité découle.

La caractérisation. Soit $x\in E$. Par définition, $x\in \phi (X)$ signifie $x\in X\cup A$ et $x\notin X\cap A$, c'est-à-dire : $x$ appartient à l'un au moins des deux ensembles $X,A$, et pas aux deux. C'est exactement dire que $x$ appartient à exactement un des deux. Il est commode de résumer : en notant ${\epsilon }_X(x)=1$ si $x\in X$ et $0$ sinon, $$x\in \phi (X)⟺{\epsilon }_X(x)\ne {\epsilon }_A(x).$$

$\phi \circ \phi =\mathrm{id}$. Soit $X\subset E$ et $x\in E$. D'après la caractérisation appliquée à la partie $\phi (X)$ : $$x\in \phi (\phi (X))⟺{\epsilon }_{\phi (X)}(x)\ne {\epsilon }_A(x).$$ Distinguons selon $x$.

• Si $x\in A$ : alors $x\in \phi (X)⟺x\notin X$. Donc $x\in \phi (\phi (X))⟺x\notin \phi (X)⟺x\in X$.
• Si $x\notin A$ : alors $x\in \phi (X)⟺x\in X$. Donc $x\in \phi (\phi (X))⟺x\in \phi (X)⟺x\in X$.

Dans les deux cas, $x\in \phi (\phi (X))⟺x\in X$. Les deux parties ayant les mêmes éléments, $\phi (\phi (X))=X$.

Bijectivité. $\phi$ va de $\mathcal{P}(E)$ dans $\mathcal{P}(E)$ et vérifie $\phi \circ \phi ={\mathrm{id}}_{\mathcal{P}(E)}$.

• Injectivité : si $\phi (X)=\phi (Y)$, on applique $\phi$ : $X=\phi (\phi (X))=\phi (\phi (Y))=Y$.
• Surjectivité : soit $Y\subset E$ ; alors $Y=\phi (\phi (Y))$ est bien l'image de la partie $\phi (Y)$.

Donc $\phi$ est bijective, et ${\phi }^{-1}=\phi$ : une telle application est dite involutive.