mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 1 · Exercice d'entraînement

Une involution sur les parties de $E$

Raisonnement et vocabulaire ensembliste · Ensembles et applications · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $E$ un ensemble et $A$ une partie fixée de $E$. Pour toute partie $X$ de $E$ on pose $$\phi (X)=(X\cup A)\setminus (X\cap A).$$ Montrer que $x\in \phi (X)$ si et seulement si $x$ appartient à exactement l'un des deux ensembles $X$ et $A$. En déduire que $\phi \circ \phi$ est l'identité, puis que $\phi$ est bijective.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.