Une somme et un produit

La somme est géométrique de raison $2$ :

$$\sum _{k=0}^{10}{2}^k=\frac{2^{11}-1}{2-1}=2047.$$

Le produit se télescope. En écrivant les facteurs :

$$\prod _{k=1}^5\frac{k+1}{k}=\frac{2}{1}\times \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \frac{5}{4}\times \frac{6}{5}=\frac{6}{1}=6.$$

Chaque numérateur annule le dénominateur suivant ; il ne survit que le dernier numérateur et le premier dénominateur.

Le télescopage vaut pour les produits comme pour les sommes : c'est le même phénomène, une fois pour l'addition et une fois pour la multiplication. En général ${\prod }_{k=1}^n\frac{k+1}{k}=n+1$.