Une somme pondérée, par deux chemins

Notons $S={\sum }_{k=0}^{n}k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$.

Premier chemin : la formule du capitaine. Pour $1\le k\le n$ elle s'écrit $k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)$. Le terme $k=0$ étant nul, on démarre la somme à $k=1$ : $$S=\sum _{k=1}^{n}n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)=n\sum _{k=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)=n\sum _{j=0}^{n-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{j}\right),$$ par le changement d'indice $j=k-1$. La dernière somme est celle d'une ligne entière du triangle de Pascal, soit $2^{n-1}$. Donc $S=n{2}^{n-1}$.

Second chemin : la somme retournée. Le changement d'indice $j=n-k$ donne $$S=\sum _{j=0}^n(n-j)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-j}\right)=\sum _{j=0}^n(n-j)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right),$$ où l'on a utilisé la symétrie $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-j}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)$. En séparant, $$S=n\sum _{j=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)-\sum _{j=0}^{n}j\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)=n{2}^n-S.$$ Donc $2S=n{2}^n$, et $S=n{2}^{n-1}$.

Contrôle. Pour $n=3$ : $0+1\times 3+2\times 3+3\times 1=12$, et $3\times 2^2=12$.

Le point à retenir. La seconde méthode ne calcule jamais $S$ : elle l'exprime en fonction d'elle-même et résout l'équation obtenue. C'est le même procédé que pour la somme géométrique — on fabrique une relation où l'inconnue apparaît des deux côtés. La symétrie du triangle de Pascal est ce qui la rend possible ici.