Une somme pondérée, par deux chemins

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · Coefficients binomiaux

Énoncé

Démontrer que $\sum_{k = 0}^{n} k (k n) = n 2^{n - 1}$ pour $n \geq 1$ , d'abord avec la formule du capitaine, puis en ajoutant la somme à elle-même écrite à l'envers.

Corrigé

Notons $S = \sum_{k = 0}^{n} k (k n)$ .

Premier chemin : la formule du capitaine. Pour $1 \leq k \leq n$ elle s'écrit $k (k n) = n (k - 1 n - 1)$ . Le terme $k = 0$ étant nul, on démarre la somme à $k = 1$ : $S = k = 1 \sum n n (k - 1 n - 1) = n k = 1 \sum n (k - 1 n - 1) = n j = 0 \sum n - 1 (j n - 1),$ par le changement d'indice $j = k - 1$ . La dernière somme est celle d'une ligne entière du triangle de Pascal, soit $2^{n - 1}$ . Donc $S = n 2^{n - 1}$ .

Second chemin : la somme retournée. Le changement d'indice $j = n - k$ donne $S = j = 0 \sum n (n - j) (n - j n) = j = 0 \sum n (n - j) (j n),$ où l'on a utilisé la symétrie $(n - j n) = (j n)$ . En séparant, $S = n j = 0 \sum n (j n) - j = 0 \sum n j (j n) = n 2^{n} - S .$ Donc $2 S = n 2^{n}$ , et $S = n 2^{n - 1}$ .

Contrôle. Pour $n = 3$ : $0 + 1 \times 3 + 2 \times 3 + 3 \times 1 = 12$ , et $3 \times 2^{2} = 12$ .

Le point à retenir. La seconde méthode ne calcule jamais $S$ : elle l'exprime en fonction d'elle-même et résout l'équation obtenue. C'est le même procédé que pour la somme géométrique — on fabrique une relation où l'inconnue apparaît des deux côtés. La symétrie du triangle de Pascal est ce qui la rend possible ici.

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