Bienaymé-Tchebychev, dans les deux sens

Ce qu'on montre. Que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité de s'écarter, et qu'en passant au complémentaire elle minore celle de rester près.

La majoration. $X$ admet une espérance et une variance : l'inégalité du cours s'applique avec $\epsilon =6>0$ : $$P(|X-10|\ge 6)\le \frac{V(X)}{{\epsilon }^2}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\approx 0,111.$$

Le passage au complémentaire. L'événement contraire de $[|X-10|\ge 6]$ est $[|X-10|<6]$, c'est-à-dire $$-6<X-10<6⟺4<X<16.$$ Donc $$P(4<X<16)=1-P(|X-10|\ge 6)\ge 1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\approx 0,889.$$

Lecture. Avec un écart-type $\sigma =\sqrt{4}=2$, l'intervalle $]4;16[$ est celui des valeurs distantes de la moyenne de moins de $3\sigma$. L'inégalité affirme donc qu'au moins $\frac{8}{9}$ de la masse se trouve à moins de trois écarts-types de la moyenne — et ce, quelle que soit la loi.

Contrôle de cohérence. La borne $\frac{1}{{\epsilon }^2/{\sigma }^2}$ vaut $\frac{1}{9}$ pour $\epsilon =3\sigma$ : c'est la forme générale $P(|X-m|\ge k\sigma )\le \frac{1}{k^2}$, qu'on retrouve bien ici avec $k=3$.

Point délicat. L'inégalité porte sur un écart $\ge \epsilon$, donc son complémentaire est un intervalle ouvert. Écrire $P(4\le X\le 16)\ge \frac{8}{9}$ serait vrai aussi (l'événement est plus grand), mais ce n'est pas ce que donne directement le passage au complémentaire.