Bienaymé-Tchebychev n'est qu'un Markov déguisé

Ce qu'on montre. Que les deux inégalités du cours n'en font qu'une : Bienaymé-Tchebychev, c'est Markov appliqué au carré de l'écart à la moyenne.

Le choix de la variable. Posons $m=E(X)$ et $$Z=(X-m{)}^2.$$ La variable $Z$ est positive, et elle admet une espérance : par définition de la variance, $E(Z)=V(X)$, qui existe par hypothèse. Les hypothèses de l'inégalité de Markov sont donc réunies.

La traduction de l'événement. Pour $\epsilon >0$, la fonction $t\mapsto t^2$ est strictement croissante sur $[0,+\infty [$, donc $$|X-m|\ge \epsilon ⟺(X-m{)}^2\ge {\epsilon }^2⟺Z\ge {\epsilon }^2.$$ Les deux événements sont égaux, pas seulement de même probabilité.

L'application de Markov. Le théorème du cours donne, pour tout $\lambda >0$, $P(Z\ge \lambda )\le \frac{E(Z)}{\lambda }$. En prenant $\lambda ={\epsilon }^2>0$ : $$P(|X-m|\ge \epsilon )=P(Z\ge {\epsilon }^2)\le \frac{E(Z)}{{\epsilon }^2}=\frac{V(X)}{{\epsilon }^2}.$$ C'est exactement l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

L'illustration. Pour $X\hookrightarrow \mathcal{G}\left(\frac{1}{4}\right)$, le cours donne $$E(X)=\frac{1}{1/4}=4,V(X)=\frac{1-\frac{1}{4}}{{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}=\frac{3/4}{1/16}=12.$$ Avec $\epsilon =6$, la majoration s'écrit $$P(|X-4|\ge 6)\le \frac{12}{36}=\frac{1}{3}\approx 0,333.$$

La valeur exacte. L'événement $|X-4|\ge 6$ signifie $X\ge 10$ ou $X\le -2$ ; ce dernier est impossible puisque $X(\Omega )={\mathbb{N}}^{\ast }$. Donc, avec $P(X>n)={\left(\frac{3}{4}\right)}^n$, $$P(|X-4|\ge 6)=P(X\ge 10)=P(X>9)={\left(\frac{3}{4}\right)}^9\approx 0,075.$$

Commentaire. La borne $0,333$ est correcte mais quatre fois trop grande. C'est le prix de l'universalité : Bienaymé-Tchebychev n'utilise que $E(X)$ et $V(X)$, et ignore tout du reste de la loi. Quand la loi est connue, le calcul exact est toujours préférable ; l'inégalité sert précisément quand elle ne l'est pas.