Combien de lancers pour encadrer une fréquence ?

Notons $F_n$ la fréquence de pile sur $n$ lancers. C'est la moyenne de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $p=\frac{1}{2}$, donc

$$E(F_n)=\frac{1}{2},V(F_n)=\frac{p(1-p)}{n}=\frac{1}{4n}.$$

Par Bienaymé-Tchebychev, avec $\epsilon =0,01$ :

$$P(|F_n-0,5|\ge 0,01)\le \frac{V(F_n)}{{\epsilon }^2}=\frac{1}{4n\times 10^{-4}}=\frac{2500}{n}.$$

On veut ce majorant $\le 0,05$, d'où

$$n\ge \frac{2500}{0,05}=50000.$$

Ce que donne la réalité. Le théorème central limite donne $P(|F_n-0,5|\le 0,01)\approx 0,95$ dès que $1,96\sqrt{\frac{1}{4n}}\le 0,01$, soit $n\ge 9604$. Une simulation sur $10^4$ répétitions le confirme : à $n=10000$ la fréquence tombe dans l'intervalle environ $95\%$ du temps, et à $n=50000$ environ $99,6\%$.

La borne n'est donc pas serrée : elle réclame cinq fois plus de lancers que nécessaire.

Et c'est attendu. Tchebychev n'utilise que la variance et vaut pour n'importe quelle loi de même variance, y compris les plus défavorables. Le théorème central limite, lui, exploite la forme de la loi — il est bien plus précis, mais seulement approché, alors que Tchebychev est une majoration exacte, vraie à tout $n$. On utilise l'une pour démontrer, l'autre pour dimensionner.