Deux binomiales s'ajoutent — à une condition

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 10 — Probabilités sur un ensemble quelconque · Couples, espérance et variance

Énoncé

Soient $X ↪ B (n_{1}, p)$ et $Y ↪ B (n_{2}, p)$ indépendantes, de même paramètre $p$ . Démontrer que $X + Y ↪ B (n_{1} + n_{2}, p)$ . Montrer ensuite que la conclusion tombe si les paramètres diffèrent, en étudiant $X^{'} ↪ B (1, \frac{1}{2})$ et $Y^{'} ↪ B (1, \frac{1}{3})$ indépendantes.

Corrigé

Ce qu'on montre. Que la stabilité repose sur une identité de dénombrement, et qu'elle exige le même $p$ — ce qu'on établit par un contre-exemple minimal.

Mise en place. Posons $q = 1 - p$ et $S = X + Y$ , à valeurs dans $[[0, n_{1} + n_{2}]]$ . Pour $k$ dans cet intervalle, décomposons selon la valeur de $X$ — les événements $[X = i]$ forment un système complet fini : $P (S = k) = i = 0 \sum k P ([X = i] \cap [Y = k - i]) = i = 0 \sum k P (X = i) P (Y = k - i),$ la seconde égalité venant de l'indépendance. Donc $P (S = k) = i = 0 \sum k (i n _{1}) p^{i} q^{n_{1} - i} (k - i n _{2}) p^{k - i} q^{n_{2} - k + i} = p^{k} q^{n_{1} + n_{2} - k} i = 0 \sum k (i n _{1}) (k - i n _{2}),$ les puissances de $p$ et de $q$ se regroupant indépendamment de $i$ . (Les coefficients binomiaux hors de leur intervalle de définition sont nuls, ce qui rend la somme licite.)

L'identité de dénombrement. Montrons que $i = 0 \sum k (i n _{1}) (k - i n _{2}) = (k n _{1} + n _{2})$ . Considérons un ensemble à $n_{1} + n_{2}$ éléments, partagé en un groupe $A$ de taille $n_{1}$ et un groupe $B$ de taille $n_{2}$ . Choisir $k$ éléments en tout, c'est choisir $i$ éléments dans $A$ et $k - i$ dans $B$ , pour un certain $i \in [[0, k]]$ ; ces cas sont deux à deux disjoints et couvrent toutes les possibilités. Le comptage des deux côtés donne l'identité.

Conclusion. $P (S = k) = (k n _{1} + n _{2}) p^{k} (1 - p)^{n_{1} + n_{2} - k}, donc X + Y ↪ B (n_{1} + n_{2}, p) .$ Contrôle : $E (S) = (n_{1} + n_{2}) p = n_{1} p + n_{2} p = E (X) + E (Y)$ , conforme à la linéarité de l'espérance.

Le contre-exemple. Soit $S^{'} = X^{'} + Y^{'}$ , avec $X^{'} ↪ B (1, \frac{1}{2})$ et $Y^{'} ↪ B (1, \frac{1}{3})$ indépendantes. Alors $S^{'}$ prend les valeurs $0$ , $1$ , $2$ , et $P (S^{'} = 2) = P (X^{'} = 1) P (Y^{'} = 1) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}, E (S^{'}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} .$ Supposons par l'absurde que $S^{'} ↪ B (2, π)$ pour un $π \in [0, 1]$ . L'espérance imposerait $2 π = \frac{5}{6}$ , donc $π = \frac{5}{12}$ ; et alors $P (S^{'} = 2) = π^{2} = \frac{25}{144} \approx 0, 1736,$ alors que la valeur exacte est $\frac{1}{6} \approx 0, 1667$ . Contradiction : $S^{'}$ ne suit aucune loi binomiale.

Point délicat. La condition « même $p$ » n'est pas une commodité de rédaction : c'est elle qui permet de factoriser $p^{k} q^{n_{1} + n_{2} - k}$ hors de la somme. La loi de Poisson, elle, ne souffre pas de cette contrainte : deux Poisson indépendantes s'ajoutent toujours.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.