Deux situations, deux lois à reconnaître

Ce qu'on montre. Que le schéma de l'expérience désigne la loi, et qu'on lit ensuite ses caractéristiques dans le cours.

(a) Une loi géométrique. On répète des épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès $p=0,3$, et $X$ est le rang du premier succès : c'est exactement la définition du cours. $$X\hookrightarrow \mathcal{G}(0,3),X(\Omega )={\mathbb{N}}^{\ast },P(X=k)=0,3\times 0,7^{k-1}.$$ $$E(X)=\frac{1}{0,3}\approx 3,33,V(X)=\frac{0,7}{0,09}\approx 7,78.$$ Par exemple $P(X=2)=0,3\times 0,7=0,21$.

(b) Une loi de Poisson. L'égalité $E(Y)=V(Y)$ est la signature de la loi de Poisson, comme le souligne le cours ; et le contexte — des événements rares comptés sur une durée fixée — est celui du modèle de Poisson. Le paramètre est la valeur commune : $$Y\hookrightarrow \mathcal{P}(5),P(Y=k)={\mathrm{e}}^{-5}\frac{5^k}{k!},E(Y)=V(Y)=5.$$ Par exemple $P(Y=0)={\mathrm{e}}^{-5}\approx 0,0067$ : il est très improbable qu'aucun appel n'arrive.

Point délicat. L'égalité $E=V$ ne prouve pas qu'une loi est de Poisson : elle est nécessaire, pas suffisante. En pratique elle sert dans l'autre sens — un rapport $\frac{V}{E}$ nettement différent de $1$, mesuré sur des données, exclut ce modèle. C'est le test à faire avant tout ajustement.