Espérance d'une combinaison, espérance d'un produit

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 10 — Probabilités sur un ensemble quelconque · Couples et indépendance

Énoncé

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes avec $E (X) = 3$ , $E (Y) = - 2$ , $V (X) = 1$ et $V (Y) = 4$ . Calculer $E (3 X - 2 Y + 1)$ , $E (X Y)$ , puis $E (X^{2})$ .

Corrigé

Ce qu'on montre. Que la linéarité s'emploie toujours, que le produit exige l'indépendance, et que Kœnig-Huygens relie les moments d'ordre $1$ et $2$ .

La combinaison affine. La linéarité de l'espérance vaut sans aucune hypothèse d'indépendance : $E (3 X - 2 Y + 1) = 3 E (X) - 2 E (Y) + 1 = 3 \times 3 - 2 \times (- 2) + 1 = 9 + 4 + 1 = 14.$ (L'espérance d'une constante est cette constante.)

Le produit. Ici, et seulement ici, l'indépendance sert. Le théorème du cours donne $E (X Y) = E (X) E (Y) = 3 \times (- 2) = - 6.$

Le moment d'ordre $2$ . La formule de Kœnig-Huygens s'écrit $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ , donc $E (X^{2}) = V (X) + E (X)^{2} = 1 + 9 = 10.$

Contrôle. On a toujours $E (X^{2}) \geq E (X)^{2}$ puisque la variance est positive : $10 \geq 9$ , conforme. De même $E (Y^{2}) = 4 + 4 = 8 \geq 4$ .

Point délicat. L'hypothèse d'indépendance n'intervient que pour $E (X Y)$ . Sans elle, la première et la troisième réponses seraient inchangées, mais la deuxième serait indéterminée : $E (X Y)$ pourrait valoir bien autre chose que $- 6$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.