Indépendantes, ou non ?

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 10 — Probabilités sur un ensemble quelconque · Couples et indépendance

Énoncé

Soit $(U, V)$ le couple de loi $P ([U = 0] \cap [V = 0]) = 0, 12, P ([U = 0] \cap [V = 1]) = 0, 28,$ $P ([U = 1] \cap [V = 0]) = 0, 18, P ([U = 1] \cap [V = 1]) = 0, 42.$ Les variables $U$ et $V$ sont-elles indépendantes ?

Corrigé

Ce qu'on montre. Que l'indépendance se teste sur toutes les cases, en comparant chaque probabilité conjointe au produit des marges.

Contrôle préalable. $0, 12 + 0, 28 + 0, 18 + 0, 42 = 1$ .

Les lois marginales. $P (U = 0) = 0, 12 + 0, 28 = 0, 40, P (U = 1) = 0, 18 + 0, 42 = 0, 60,$ $P (V = 0) = 0, 12 + 0, 18 = 0, 30, P (V = 1) = 0, 28 + 0, 42 = 0, 70.$

Le test, case par case. La proposition du cours affirme que $U$ et $V$ sont indépendantes si et seulement si $P ([U = u] \cap [V = v]) = P (U = u) P (V = v)$ pour tous $u, v$ . $0, 40 \times 0, 30 = 0, 12 ✓ 0, 40 \times 0, 70 = 0, 28 ✓$ $0, 60 \times 0, 30 = 0, 18 ✓ 0, 60 \times 0, 70 = 0, 42 ✓$ Les quatre égalités sont vérifiées : $U$ et $V$ sont indépendantes.

Une conséquence. Le théorème du cours donne alors $E (U V) = E (U) E (V)$ . Vérifions : $E (U) = 0, 6$ , $E (V) = 0, 7$ , et $E (U V) = 1 \times 1 \times 0, 42 = 0, 42 = 0, 6 \times 0, 7.$ Conforme.

Point délicat. Pour réfuter l'indépendance, une seule case en défaut suffit. Pour l'établir, il faut les vérifier toutes — ici quatre, mais le nombre croît vite avec la taille du tableau.

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