Indépendantes, ou non ?

Ce qu'on montre. Que l'indépendance se teste sur toutes les cases, en comparant chaque probabilité conjointe au produit des marges.

Contrôle préalable. $0,12+0,28+0,18+0,42=1$.

Les lois marginales. $$P(U=0)=0,12+0,28=0,40,P(U=1)=0,18+0,42=0,60,$$ $$P(V=0)=0,12+0,18=0,30,P(V=1)=0,28+0,42=0,70.$$

Le test, case par case. La proposition du cours affirme que $U$ et $V$ sont indépendantes si et seulement si $P([U=u]\cap [V=v])=P(U=u)P(V=v)$ pour tous $u,v$. $$0,40\times 0,30=0,12✓0,40\times 0,70=0,28✓$$ $$0,60\times 0,30=0,18✓0,60\times 0,70=0,42✓$$ Les quatre égalités sont vérifiées : $U$ et $V$ sont indépendantes.

Une conséquence. Le théorème du cours donne alors $E(UV)=E(U)E(V)$. Vérifions : $E(U)=0,6$, $E(V)=0,7$, et $$E(UV)=1\times 1\times 0,42=0,42=0,6\times 0,7.$$ Conforme.

Point délicat. Pour réfuter l'indépendance, une seule case en défaut suffit. Pour l'établir, il faut les vérifier toutes — ici quatre, mais le nombre croît vite avec la taille du tableau.